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1.6 量子態的數學模型

在量子力學中，我們用線性代數去描述量子態的模型。在這裡，我們會討論為什麼會選用線性代數，以及其他相關的數學工具。

為什麼選擇線性代數​

在古典物理中，我們對物理量（速度、位置、能量）的感受上是連續的，而且在任一時間點只有一個值。 於是，我們選擇連續函數來描述古典物理的感受與觀察。 譬如一輛行駛中的車輛，車輛的位置我們會用x(t)=vtx(t) = vt來描述，其中tt是時間，vv是速度。 在任一時間點tt，我們都會得到一個唯一的位置x(t)x(t)，而且位置在tt這個時間點是連續的，接下來的x(t+δ)x(t+\delta)不會突然飛越到不連續的地方。

到了量子的世界後，物理學家發現，連續函數不管用了，悲劇。

舉例來說，拿一個原子來看，電子往質子的方向離開軌道落下時，它會以光的形式釋放出能量。 透過測量釋放的光能，我們可以算出電子剩餘的能量。 在真正測量之前，我們套用古典物理的想像，電子往質子的方向慢慢滑過去，感覺就是溜滑梯那樣的絲滑，釋放出來的光能也是同樣的絲滑連續。 感覺上可以用一個古典物理的能量函數E(t)E(t)來描述它，而且這裡的E(t)E(t)是一個連續函數。 但是，真的拿儀器去測量的話，就會發現能量值就是那幾個數字，沒有其他的連續值，就是固定那幾個數字。 這些數字是固定的、離散的，這就與我們想像的連續值有很大的差別。 再來，我們發現這些離散的數字，它們出現的機會是不一樣的，某些數字出現的次數多，某些數字出現的次數少。 於是，我們有個一個簡單的結論：連續函數並無法描述微觀的世界。

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微觀世界是離散的，帶有機率的特性。

對於這些我們觀察到的離散物理量，我們先用不同的數字來表達它們：X1,X2,...,XnX_1, X_2, ..., X_n； 對於每個物理量的機率，我們先用不同的機率來表達它們：P1,P2,...,PnP_1, P_2, ..., P_n。 因為每個物理量似乎有它們對應的機率，所以我們試著用這樣表示它們：P1X1,P2X2,...,PnXnP_1X_1, P_2X_2, ..., P_nX_n。 這時候想想，在我們觀察之前，我們該怎麼描述呢？ 感覺上，應該是上面那些PiXiP_iX_i的組合，這裡我們先用一個未知的operator⊕\oplus表示：

P1X1⊕P2X2⊕...⊕PnXnP_1X_1 \oplus P_2X_2 \oplus ... \oplus P_nX_n

這個公式看起來，是不是開始有線性代數的感覺了！ 到了這裡，我們猜測，在微觀世界需要一個向量空間（vector space），需要機率係數，還需要作用在向量空間的operators。 在摸索當中，我們大膽的試著假設模型如下：

  1. 粒子為向量空間裡面的向量v⇀\overrightharpoon{v}，而且同時也等於所有測量後可能的向量的組合。 測量後可能的向量我們可以想像成向量空間的基底（basis）B1,B2,...,BnB_1, B_2, ..., B_n，所以v⇀=∑i=1nciBi\overrightharpoon{v} = \displaystyle\sum_{i=1}^nc_iB_i

  2. 物理量（能量、位置等等）則為對向量空間的operation。譬如說一個三度空間內，可能存在一個5x3的轉換矩陣HH作用在3x1的vv上， 使得HvHv為5x1的矩陣，代表這個vv的某一種物理量的5種可能性。

如何用線性代數描述量子世界​

前面提到，我們把粒子描述成向量空間的向量，物理量則為operator。

甚麼是向量空間呢？一個向量空間VV over field FF，對於任意u,v,w∈Vu,v,w \in V以及a,b∈Fa,b \in F，滿足下面八項性質：

  1. u+(v+w)=(u+v)+wu+(v+w) = (u+v)+w
  2. u+v=v+uu+v = v+u
  3. ∃0⇀∈V\exist \overrightharpoon{0} \in V使得v+0⇀=vv+\overrightharpoon{0} = v
  4. ∃−v∈V\exist -v \in V使得v+(−v)=0⇀v+(-v) = \overrightharpoon{0}
  5. a(bv)=(ab)va(bv) = (ab)v
  6. 1v=v1v = v
  7. a(u+v)=au+ava(u+v) = au+av
  8. (a+b)v=av+bv(a+b)v = av+bv

向量空間未必是我們常見的矩陣，任何集合V over F，並且存在運算元++與⋅\cdot滿足上面八項性質，我們都可以稱呼V為向量空間。

接下來我們嘗試找出描述量子的向量空間。首先，我們把量子態寫成ψ⇀\overrightharpoon{\psi}，用來表示一個粒子的所有物理性質。 從ψ⇀\overrightharpoon{\psi}中，存在某些方法讓我們從中萃取出該粒子在某一時間點的不同的物理性質，譬如位置、能量等等，還有對應的機率。

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x

x​

在量子力學中，量子態可以用希爾伯特空間（Hilbert space）來描述。 選擇希爾伯特空間作為量子態的數學模型基礎，主要是因為希爾伯特空間具有幾個關鍵特性，使其非常適合描述量子系統：

  1. 複數向量空間
  2. 內積結構
  3. 完備性
  4. 正交性和歸一化

希爾伯特空間​

x​

這些算符揭示了量子位的行為規律，例如其演化、叠加和量子糾纏。

首先，量子位的演化可以通過單位算符（unitary operators）來描述，這反映了量子位隨時間的變化。 例如，量子門（quantum gates）是實現量子位態變換的單位算符，它們是量子計算的基本操作元素。

其次，量子位的測量可以用投影算符（projection operators）來描述。這些算符幫助我們理解在量子計算過程中的測量如何影響系統的狀態。

此外，量子位的叠加和糾纏狀態可以通過線性組合和張量積來數學上表達。這種描述提供了一種工具來研究複雜的量子系統，尤其是在量子位之間的相互作用方面。

總之，量子位的數學模型不僅限於描述量子位的狀態，還包括量子演化、測量和糾纏等多種現象的數學處理。這個模型是理解和應用量子計算機的重要基礎。